El noruego de 22 años ha tenido problemas para tener un impacto en la plantilla del técnico del Real Madrid, Zinedine Zidane, esta temporada.
La Real Sociedad, donde Odegaard estuvo cedido la temporada pasada, y el líder de la Eredivisie, el Ajax, también estaban interesados.
El técnico del Arsenal, Mikel Arteta, dijo: «Martin es, por supuesto, un jugador que todos conocemos muy bien. Aunque todavía es joven, ha estado jugando al máximo nivel durante un tiempo».
Arteta dijo que Odegaard «nos brindará opciones ofensivas de calidad» y que el internacional noruego podría jugar el sábado en la Premier League contra el Manchester United (inicio a las 17:30 GMT).
Hablando de Arteta, Odegaard dijo: «Parece un gran entrenador y me gustaron sus ideas, la forma en que ve el fútbol y también la forma en que es. Me dio una gran sensación y eso fue importante para mí.
«Creo que es un club que realmente me sienta bien».
El director técnico del Arsenal, Edu, dijo que el club había aportado un «talento excepcional».
El experto en fútbol español Guillem Balague dijo que el Real Madrid bloqueó el regreso de Odegaard a la Sociedad porque querían que se mudara al club de la Premier League.
Su llegada al Emirates Stadium se produce tras la marcha del creador de juego Mesut Ozil al Fenerbahce.
Odegaard llegó al Real Madrid procedente del Stromsgodset en enero de 2015 y ha jugado nueve veces con el Real Madrid esta temporada.
Después de regresar al Bernabéu en el verano después de su cesión a la Sociedad, parecía que podría convertirse en un titular del primer equipo en el Real Madrid con Zidane, quien lo entrenó en el equipo B cuando ingresó por primera vez en el club.
Pero después de comenzar los dos primeros juegos de La Liga de la temporada, solo ha aparecido una vez desde el comienzo de un juego de liga desde el 21 de noviembre.
